Schadner(2026) 显式 BS-IV 公式 | 抹茶iswian的博客

Schadner, W. (2026), “An Explicit Solution to Black–Scholes Implied Volatility”, arXiv:2604.24480v2

这篇论文把 BS implied volatility 的反解，从”对 volatility 做数值找根”改写成了”逆高斯分布的分位数反演问题”。

已知市场价格 $C$ ，求 $\sigma$ ：

C = BS(\sigma) \quad \Rightarrow \quad \text{解 } BS(\sigma) = C

传统方法是直接对 $\sigma$ 做数值迭代：Newton、Brent、“Let’s Be Rational” 等。

先定义标准化变量：

v = \sigma\sqrt{T},\quad k = \ln(K/F),\quad c = C/(DF)

论文发现对于 $k > 0$ （OTM call），BS 归一化 call price 可以写成 逆高斯分布的生存概率：

c_{BS}(k, v) = 1 - F_{IG}\!\left(\frac{4}{v^2}; \frac{2}{k}, 1\right)

整理得到：

\frac{4}{v^2} = F_{IG}^{-1}\!\left(1 - c; \frac{2}{k}, 1\right)

所以：

\sigma = \frac{2}{\sqrt{T}}\left[F_{IG}^{-1}\!\left(1 - c; \frac{2}{k}, 1\right)\right]^{-1/2}

ATM 特例更简单，直接退化为标准正态：

\sigma(K=F, C) = \frac{2}{\sqrt{T}} \Phi^{-1}\!\left(\frac{1+c}{2}\right)

期权价格可以解释为布朗运动首次到达某边界（first-passage time）超过 $4/v^2$ 的概率：

c_{BS}(k, v) = \mathbb{P}\!\left(\tau_k > \frac{4}{v^2}\right), \quad \tau_k = \inf\{t > 0: B_t + \frac{k}{2}t = 1\}

即 implied vol 本质上是逆高斯分布的一个分位数。

传统方法	这篇论文
对 $\sigma$ 迭代求根（Newton/Brent/LBR）	不再对 BS 方程直接迭代
迭代对象是 volatility 本身	迭代被转移到逆高斯分位数的计算中

理论层面：IV 反解被显式化了，不再需要对 BS 方程做 root-finding。

实现层面： $F_{IG}^{-1}$ 本身通常没有初等闭式。如果自己实现，背后可能仍有数值引擎；如果调 SciPy 的 scipy.stats.invgauss.ppf，库内部也可能包含数值方法。

所以准确表述是：它消掉的是”对 BS 价格方程直接找根”的迭代，但计算逆高斯分位数本身可能仍有数值成分。

论文报告显式公式比 Jäckel (2024) 快 3.4 倍（0.305 μs vs 1.038 μs），且两者均达到机器精度。

但在 production 环境中，还有其他方案可供权衡：

论文的 3.4x 提速是相对于通用高精度求解器的，不是相对于所有工程优化方案。所以它不一定会全面碾压已高度优化的生产级实现。

不是”它一定是世界上最快的 IV solver”，而是：

数学突破：第一次把 BS implied volatility 写成逆高斯 quantile 的显式表达，把 root-finding 问题变成了概率分位数反演问题
揭示结构联系：BS price 和 inverse Gaussian / first-passage time 之间的桥梁
下游价值：对可微分建模、surface analytics、批量化 feature construction 有研究价值

IV surface 因子计算需要大量 repeated IV solving，如果用上这个公式：

目前数据已预处理完毕，暂不需要更换 solver，但值得了解这个工具的存在。